Penerapan Induksi Matematika Pada Barisan Bilangan

Diberikan barisan bilangan asli 3, 5, 8, 12, 17, 23, 30, 38, ... Selidiki suatu formula yang memenuhi pola barisan tersebut. Sebelum menentukan suku ke 1999, terlebih dahulu uji kebenaran formula yang kamu peroleh dengan menggunakan induksi matematika.

Jawaban

Untuk menentukan formula suatu barisan bilangan, maka terlebih dahulu kamu harus mengerti tentang barisan bilangan. Barisan bilangan adalah himpunan bilangan yang diurutkan menurut suatu aturan tertentu. Secara umum barisan bilangan dapat ditulis dengan:

U₁, U₂, U₃, …, U_n = {U_n}  

Pada soal di atas:
n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...

U_{n =} 3, 5, 8, 12, 17, 23, 30, 38, ...

Maka:

n = 1, maka U_{1 =} 3 (Suku pertama adalah 3)

n = 2, maka U_{2 =} 5 (Suku kedua adalah 5)

n = 3, maka U_{3 =} 8 (Suku kedua adalah 8)

n = 4, maka U_{3 =} 12 (Suku kedua adalah 12)

n = 5, maka U_{5 =} 17 (Suku kedua adalah 17)

Demikian seterusnya.

Jika kita membuat suatu koordinat cartesius (n, U_n) maka akan didapatkan grafik seperti pada gambar berikut ini.

Dari gambar di atas, grafik yang didapatkan adalah berbentuk grafik fungsi kuadrat. Oleh karena itu, persamaan yang kita gunakan adalah persamaan kuadrat. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah 

f(x) = ax² + bx + c

Maka pada grafik di atas, f(x) = y = U_n dan x = n. Maka persamaannya menjadi

U_n = an² + bn + c

Sehingga:

• Jika n = 1, maka U₁ = a(1)² + b(1) + c
  3 = a(1)² + b(1) + c
  3 = a + b + c........(Persamaan 1)
  
  
• Jika n = 2, maka U₂ = a(2)² + b(2) + c
  5 = a(2)² + b(2) + c
  5 = 4a + 2b + c........(Persamaan 2)
  
  
• Jika n = 3, maka U₃ = a(3)² + b(3) + c
  8 = a(3)² + b(3) + c
  8 = 9a + 3b + c........(Persamaan 3)
  

Kenapa harus ada tiga persamaan karena ada variabel yang tidak ketahui ada tiga yaitu a, b, dan c. Lakukan eliminasi dan subtitusi untuk mendapatkan nilai dari variabel yang belu diketahui.

1. Eliminasi persamaan 1 dan 2
   3 = a + b + c
   5 = 4a + 2b + c
   Hasilnya adalah 7 = 2b + 3c.... (Persamaan 4)
2. Eliminasi Persamaan 2 dan 3
   5 = 4a + 2b + c
   8 = 9a + 3b + c
   Hasilnya adalah 19 = 6b + 8c... (Persamaan 5)
3. Eliminasi persamaan 4 dan 5
   7 = 2b + 3c
   19 = 6b + 8c
   Hasilnya adalah c = 2
4. Substitusi c = 2 pada persamaan 4
   7 = 2b + 3c
   7 = 2b + 3(2)
   7 = 2b + 6
   7-6 = 2b
   1/2 = b
5. Substitusi c = 2, b = 1/2 pada persamaan 1
   3 = a + b + c
   3 = a + 1/2 + 2
   3 = a + 5/2
   3-5/2 = a 
   1/2 = a 

Didapatkan a = 1/2, b = 1/2 dan c = 2 sehingga formula yang ditemukan adalah U_n = an² + bn + c (Formula umum) menjadi U_n = 1/2n² + 1/2n + 2

Formula yang kita dapatkan U_n = 1/2n² + 1/2n + 2 kita buktikan secara induksi matematika.

• n = 1 (benar)
  U_n = 1/2n² + 1/2n + 2
  U₁ = 1/2(1)² + 1/2(1) + 2
  3 = 1/2 + 1/2 + 2
  3 = 3 (Benar)
• n = k (benar), 
• n = k + 1 (benar), ambil k = 2
  n = 2 + 1
  n = 3
  U_n = 1/2n² + 1/2n + 2
  U₃ = 1/2(3)² + 1/2(3) + 2
  8 = 1/2(9) + 3/2 + 2
  8 = 9/2 + 3/2 + 2
  8 = 8 (benar)

Oleh karena formula terbukti benar secara induksi matematika, maka tanpa menggunakan alat bantu hitung, suku ke 1999 adalah...

U_n = 1/2n² + 1/2n + 2
U₁₉₉₉ = 1/2(1999)² + 1/2(1999) + 2
U₁₉₉₉ = 1/2(3996001) + 999,5 + 2
U₁₉₉₉ = 1998000,5 + 999,5 + 2
U₁₉₉₉ = 1999000+2
U₁₉₉₉ = 1999002