Menemukan Formula pada Induksi Matematika (3)

Tanpa menggunakan alat bantu hitung, rancang formula yang memenuhi pola 1² + 2² + 3² + … + 10²

Kemudian uji formula tersebut untung menghitung 1² + 2² + 3² + …+ 30²

^Jawaban

Pola bilangan 1² + 2² + 3² + … + 10² tanpa bentuk perpangkatan adalah 1 + 4 + 9 + ... + 100 maka untuk mendapatkan formulanya dilakukan dengan percobaan pada tahapan berikut ini.

Foto oleh Magda Ehlers dari Pexels

Perlu diingat bahawa untuk mendapatkan formula yang benar haruslah dilakukan pengujian berulang-ulang hingga kita mendapatkan formula yang benar untuk setiap kondisi pada pernyataan yang diberikan.

• 1 = n (Kita anggap formulanya cukuplah n saja)
  1 = 1 (Benar) Percobaan I. n adalah banyaknya bilangan yang ditambahkan. Karena bilangan yang ditambahkan hanyalah satu maka n adalah 1. Bandingkan n pada percobaan ke II.
• 1 + 4 = n (Kita Pertahankan formulanya adalah n)
  5 = 2 (Salah) Percobaan II. n pada percobaan II adalah 2 karena bilangan yang ditambahkan adalah 1 dan 4 (ada dua bilangan).

Pada percobaan ke II ternyata formula yang kita anggap bahwa n adalah formula yang kita cari ternyata tidak benar untuk semua kondisi. Oleh karena itu maka kita lakukan percobaan ke III

• 1 + 4 = (n*2)+1 (Kita mulai dengan tanda perkalian dengan ditambah bilangan paling kecil yaitu 2)
  Perlu diingat bahwa kamu bisa menggunakan tanda operasional matematika yang lain. Semua tergantung pada hasil ujicoba yang kamu lakukan.
  5 = (2*2) + 1
  5 = 5 (Benar) Percobaan III

Karena percobaan ke III Benar maka kita mencoba formula yang kita dapatkan (n*2)+1 pada kondisi pernyataan pertama (percobaan I). Apakah formula tersebut benar atau salah. Ingat bahwa formula yang benar adalah bisa digunakan untuk setiap pernyataan. Maka kita coba ke pernyataan pertama.

• 1 = (n*2)+1
  1 = (1*2) +1
  1 = 3  (Salah) Percobaan IV. Ternyata formula (n*2)+1 tidak benar untuk semua kondisi yang kita uji coba. Oleh karena itu, kita harus mendapatkan formula yang lain.

Formula terakhir yang kita uji coba adalah pada percobaan III karena pada percobaan ini kita mendapatkan formula yang benar (sementara).

• 1 + 4 = (n/6)* (n+1)*(2n+1) (tanda * adalah perkalian). Perlu kamu ingat bahwa untuk mendapatkan formula ini dilakukan secara berulang-ulang sehingga didapatkan formula yang benar. Tonton video pembelajaran di bawah ini untuk memahami bagaimana cara mendapatkan formula ini dengan cepat.
  5 = (2/6)*(2+1)*(2*2+1)
  5 = (1/3)*3*5
  5 = 5 (benar) Percobaan ke V. 

Karena percobaan ke V adalah benar maka kita kembali cek pada kondisi percobaan pertama apakah formula yang kita dapatkan benar atau tidak.

• 1 = (n/6)* (n+1)*(2n+1)
  1 = (1/6)*(1+1)*(2*1+1)
  1 = (1/6)*2*3
  1 = 1 (benar) Percobaan ke VI.

Karena benar maka kamu coba terakhir kalinya untuk pernyataan:

• 1 + 4 + 9 = (n/6)* (n+1)*(2n+1)
  1 + 4 + 9 = (3/6)*(3+1)*(2*3+1)
  14 = (1/2)*4*7
  14 = 14 (Benar). Percobaan VII. 

Karena pada percobaan VII sudah benar maka kita menarik sebuah kesimpulan bahwa formula dari
1² + 2² + 3² + … + 10² adalah (n/6)* (n+1)*(2n+1) 

• Maka hasil dari 1² + 2² + 3² + … + 10² = (10/6)* (10+1)*(2*10+1)
  (10/6)*11*21 = 385
• Lalu, berapakah hasil dari 1² + 2² + 3² + …+ 30² = ...?
  Hasilnya adalah (30/6)* (30+1)*(2*30+1) = 5*31*61 = 9455

Oleh karena kamu sudah mengetahui formula penjumlahan bilangan berpangkat dua maka tentukanlah:

1. 1² + 2² + 3² + …+ 20² = ...?
2. 1² + 2² + 3² + …+ 40² = ...?
3. 1² + 2² + 3² + …+ 50² = ...?
4. 1² + 2² + 3² + …+ 100² = ...?
5. 1² + 2² + 3² + …+ 1000² = ...?

Tuliskan jawabanmu pada kolom komentar postingan blog ini. Tetap semangat belajar!!! Jangan lupa untuk menonton video pembelajaran berikut agar agar contoh soal ini dapat kamu pahami dengan baik.